CABLES SUSPENDIDOS
Cuando se hablar de cables suspendidos debemos saber que
significado tiene los cables, entonces se puede decir que son elementos estructurales totalmente lineales
(las dimensiones de su sección son muy pequeñas comparadas con su longitud). Ellos
son sumamente flexibles por esta razón su análisis no se considera su resistencia
a flexión y se diseña para soportar cargas en forma axil, con esfuerzos únicamente de tracción.
Los cables al estar sometidos a un sistema de fuerzas, alcanzan
el equilibrio adaptando su forma a la del funicular o cuerda de cargas. El
estudio estático de estos sistemas se reduce al estudio de la curva funicular.
La forma que adopta los cables depende de las cargas que
actúen en él, ahora bien el estudio de la forma
de un cable se deben distinguir
diferentes fuerzas que lo solicitan.
En general los cables se encuentran sometidos
principalmente a:
- cargas concentradas en diferentes puntos de su extensión.
- cargas verticales distribuidas por unidad horizontal de longitud (Ej. peso del tablero de un puente colgante).
- cargas verticales distribuidas por unidad de longitud del cable (Ej. peso propio del cable).
Cuando un cable sujetado en sus extremos es sometido a
cargas concentradas adopta una forma poligonal.
Si el cable soporta una carga distribuida por unidad horizontal de
longitud, su forma es parabólica.
Mientras que si está sometido a una fuerza uniformemente
distribuida por unidad de longitud del mismo, toma la forma de catenaria.
El equilibrio de un cable se adopta a las
condiciones de vínculo en los extremos de un cable sometido a la acción de un
sistema de fuerzas arbitrario, este debe permitir el equilibrio del conjunto,
es decir, para alcanzar el equilibrio, las reacciones suministradas por los
vínculos tienen que ser contrarias a las acciones ejercidas por el cable
(principio de acción y reacción).
Debido que los cables no poseen
resistencia a flexión, no ejercen momentos en los apoyos, sólo fuerzas cuyas intensidades
y direcciones dependerán de las cargas actuantes en el sistema.
Consecuentemente los vínculos en los extremos del cable siempre se tratan de
apoyos fijos (vínculos de segunda especie).
Si se aplica las ecuaciones de
equilibrio, tendra entonces un sistema de tres ecuaciones independientes y
cuatro incógnitas (dos por cada apoyo), es decir un sistema estáticamente
indeterminado. Esto significa que existe una multitud de cables que podrán
satisfacer las ecuaciones de equilibrio para un mismo sistema de fuerzas. Esta
afirmación es representada en las figuras a continuación.
En las imagenes se puede
notar un conjunto de cables bajo la acción de un mismo sistema de cargas, donde
cada cable se encuentra en estado de equilibrio. Notemos sin embargo que cada
uno posee una longitud y una forma distinta. Al mismo tiempo las tensiones que
solicitan a cada cable son diferentes del resto.
Por lo general, para
determinar las reacciones de vínculo externo se podrá plantear una cuarta ecuación
en función de la longitud que presenta el cable en estudio, o de la deformación
que se desea del mismo o de la tensión para la cual se diseña este elemento
estructural. De esta forma se puede hallar una única solución del sistema que
se ajusta a las condiciones del problema en estudio.
Para la determinación de las
reacciones de vínculo se desarrollará la resolución de sistemas planos de
cables bajo los tipos de cargas más frecuentes.
Para su estudio se
adoptaran las siguientes hipótesis:
- Sección despreciable: Se considera que el cable posee una dimensión predominante mucho mayor que los otras dos, por lo que puede ser idealizado según una línea, sin sección transversal. Tan sólo será necesario considerar su sección a efecto de calcular su peso propio en función de la densidad del material que lo compone.
- Flexibilidad perfecta: El cable no resiste esfuerzos de flexión, y por lo tanto tampoco de corte. Tan sólo resiste esfuerzos axiles.
- Inextensibilidad: Cuando está sometido a tracción, el cable es lo suficientemente rígido (en dirección longitudinal) como para que se pueda despreciar su extensibilidad. Por el contrario, sometido a compresión, el cable no ofrece resistencia alguna y se deforma completamente.
Ø Cables con carga distribuida uniformemente distribuida a lo
largo de la horizontal.
Se considera
que el peso que produce una carga uniformemente distribuida a lo largo de
su horizontal en el caso de cables cuya
relación flecha/longitud es pequeña. Haciendo un analisis del dibujo a
continuacion se puede hacer la distribucion de las carga a lo largo de su
horizontal.
Se puede
notar que las cargas son verticales, el peso del cable se puede despreciar, Los
tramos de cable entre dos puntos se pueden tratar prácticamente como si fueran
rígidos.
Las fuerzas
aplicadas de la imagen se puede ver más claramente en la figura siguiente, en
la que tenemos un cable apoyado en dos soportes A, B y sometido a tres fuerzas
puntuales verticales descendentes P1 , P2 y P3.
Por otra parte, se puede obtener
separando el cable en el punto D y tomando momentos en la mitad del cable, de
manera similar a como hemos hecho ya en vigas:
Ø Cables sometidos a fuerzas concentradas en diferentes puntos
de su extensión:
Caso general: Fuerzas aplicadas con componentes
horizontales y verticales.En el caso general de un cable sometido a cargas de
direcciones arbitrarias, los puntos de aplicación de las mismas o vértices de
la poligonal se desplazarán vertical y horizontalmente hasta alcanzan el
equilibrio del sistema. Por la hipótesis de inextensibilidad que hemos
adoptado, el corrimiento de cada uno de los vértices estará condicionado por el
desplazamiento que experimentan el resto de los vértices, puesto que la
distancia entre los mismos debe mantenerse invariante.
Ø Cables parabolicos:
Cuando
un cable está actuando una carga uniforme por unidad de proyección horizontal,
dicho cable adquiere la forma de una parábola si se desprecia su peso propio
respecto al de la carga que debe soportar. Este caso se presenta, en la
práctica, en el cálculo de puentes colgantes, en los que el peso del tablero es
mucho mayor que el del cable que lo sustenta.
El
tablero, o base del puente colgante, se puede representar por una carga
vertical, p (N/m), uniformemente distribuida a lo largo de la proyección
horizontal del cable. La transmisión de carga del tablero al cable se realiza
mediante unos cables verticales denominados tirantes, también de peso
despreciable frente al del tablero.
Al
estar sometido el cable a una carga que es constantemente paralela a una
dirección fija, la curva de equilibrio del cable será una curva plana. Por otro
lado, dicha carga sólo tiene componente vertical, por lo que las ecuaciones
escalares obtenidas para el equilibrio de un cable serán, en este caso:
Donde
se ha tenido en cuenta que la fuerza resultante actuante sobre un elemento
diferencial de cable lo es según la horizontal.
De
la primera ecuación obtenemos que la componente horizontal de la tensión, Nx,
en cada sección del cable es constante y su valor será igual al de la tensión
en el punto más bajo de la curva, No:
Este valor puede introducirse en el primer
miembro de la segunda ecuación multiplicando y dividiendo, al interior del
paréntesis, por dx:
La
integración de esta última ecuación da lugar a:
donde C1 (y, por lo tanto,
k1) es una constante y se ha definido, análogamente al caso de la obtención de
la ecuación para la catenaria, un parámetro a de la parábola que tiene unidades
de longitud:
Por
último, integrando la última ecuación obtenida, se llega a la ecuación de la
curva de equilibrio, que podemos ver que, efectivamente, se corresponde con la
ecuación de una parábola:
Si
se trabaja con un sistema de ejes de referencia en cuyo origen la pendiente a
la parábola sea nula, la ecuación de la curva de equilibrio quedará como sigue:
Esta
es la ecuación de la parábola en los ejes reducidos (x1 e y1)
Ø Cables en forma centenaria:
El cable en forma centenaria es un
modelo por excelencia, ya que aparece en infinidade casos en la naturaleza. Por
ejemplo los tendidos eléctricos, una cadena, o una tela de araña son ejemplos
de catenaria. En este caso, el cable solo está sujeto a su propio peso. Esta
definicion es sencilla, sin embargo es en la que actuan una mayor carga matemática.
Para distinguir
completamente la forma catenaria de un cable es necesario conocer su longitud.
Para este fin se pueden considerar las tensiones verticales y horizontales
siguiendo el siguiente esquema:
Por último,
hay que saber distinguir la altura en cualquier punto del cable, lo que además
es indispensable para calcular la tensión vectorial en cada punto. Esta es
proporcional a su altura (T = cy).
Ø Cables con cargas
concentradas:
Las
cargas concentradas son las que se aplican en un área pequeña, en comparación
con la total del miembro resistente.
Ejemplo:
el peso de una máquina herramienta en una esquina del taller.
Tomando en
cuenta las cargas concentradas en los cables se puede decir que se
tiene un cable fijo en sus extremos, a la misma altura, sometido a cargas
concentradas. Para determinar la tensión en cada tramo es necesario conocer las
reacciones en los apoyos. Se tienen cuatro incógnitas por lo cual el sistema es
estáticamente indeterminado. Para superar esta indeterminación se da como dato
la posición de una de las cargas. Así como se muestra en la siguiente imagen:
PROBLEMAS
RESUELTOS:
- Los puntos A y B del puente colgante representado en la figura distan 40 m. La flecha en su centro es de 5 m. Los cables pueden resistir una tensión máxima de 44,72 kN.
DETERMINAR:
a)
Tensión mínima y la carga q distribuida uniformemente según la horizontal que
puede resistir.
b)
Componentes vectoriales de la tensión en los puntos A y B.
RESOLUCIÓN:
Datos:
TA
= TB= 44,72 KN
L=
40m X= L/2 = 20m
f =
y-yo = 5cm
a)
La parábola del puente colgante viene dada
por la expresión:
y-yo
= q/2To. x2; 5= q/2To (20)2 de
donde To =40q cumpliéndose TAx = TBx=To
Cada componente vertical de
la tensión soporta la carga de medio puente:
Ty = q. L/2 = 20 q ; a
partir del modulo de la tensión se obtiene la carga:
T2 = T2 Ax
+ T2 Bx ; 2000 . 106 = (400 + 1600) q2
→ q = 103 N
Por lo tanto To =
4. 104 N; Ty = 2. 104 N
b)
Los vectores de la tensión en los puntos A y
B quedan:
TA =
-4. 104 i + 2. 104 j
TB =
4. 104 i + 2, 104 j
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